¿Qué tan grande sería el daño si un grano de arena golpeara la Tierra a un 99% de la velocidad de la luz?

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El escenario sería el siguiente:

Como el grano presenta masa no nula y se dice además que viaja con una velocidad relativista, entran en juego las dos partes de la ecuación de Einstein: la que computa la energía de una partícula en reposo ligada a su masa, y la que que posee la partícula por el hecho de estarse moviendo con una velocidad dada v" role="presentation">v$v$, es decir, su cantidad de movimiento relativista. La expresión es:

E2=(m0c2)2+(pc)2" role="presentation">E2=(m0c2)2+(pc)2$E^2=(m_0{c}^2{)}^2+(pc{)}^2$

• m0=1⋅10−3kg" role="presentation">m0=1⋅10−3kg$m_0=1\cdot {10}^{-3}kg$
• v=0.99c" role="presentation">v=0.99c$v=0.99c$

Por comodidad vamos a emplear la expresión en forma de cociente, que es totalmente equivalente a la anterior:

E=m0c21−v2c2" role="presentation">E=m0c21−v2c2√$E=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Así pues cuando introducimos los datos en la ecuación indicada,

E=10−3kg·(299792458ms−1)21−(0.99c)2c2" role="presentation">E=10−3kg⋅(299792458ms−1)21−(0.99c)2c2√$E=\frac{{10}^{-3}kg·(299792458m{s}^{-1}{)}^2}{\sqrt{1-\frac{(0.99c{)}^2}{c^2}}}$

esta arroja un resultado de E=6,37⋅1014J" role="presentation">E=6,37⋅1014J$E=6,37\cdot {10}^{14}J$.

Y como un gramo de TNT equivale a 4.184 Julios, tendríamos que la energía total contenida en nuestro proyectil relativista equivale a 1,52273·1011" role="presentation">1,52273⋅1011$1,52273·{10}^{11}$, gramos de TNT, o lo que es lo mismo 152,27 Kilotoneladas de TNT.

Así que el impacto sería considerable (equivalente a 152 kilotones nada menos), si fuese ordinario. Pero claro queda la segunda cuestión, muchísimo más compleja que esta, acerca de cómo se deposita esa energía que acabamos de calcular.

A esa velocidad, desde en sistema de referencia del grano de arena, la Tierra se contrae en el sentido del movimiento del proyectil, y sus 6371 km de radio son ahora menos de 900 km. Atravesaría la atmósfera casi sin inmutarse, y penetraría en la corteza terrestre. Hasta qué profundidad es una pregunta que dependería de otros factores a tener en cuenta.

Pero baste considerar, por no extendernos más, que liberar toda esa energía tendría diferentes consecuencias si ocurre en la superficie, o si se produce en medio de la Corteza, la Astenosfera, o incluso del Manto.

Espero que con lo expuesto pueda hacerse una idea del tipo de cataclismo que dicho evento conllevaría.

Un saludo.

Edito.- D. Andrés Sigalat me indica que, en realidad, un grano de arena suele tener una masa típica del orden del miligramo y que el grano de nuestra hipótesis inicial sería más próximo a uno de gravilla. Así que con la intención de ajustarnos al enunciado propuesto, tomamos en consideración un grano de arena de 1 miligramo de masa propia. Como en los cálculos empleados el factor masa es lineal, el resultado para este nuevo candidato resulta ser una milésima parte de la energía calculada arriba. Por tanto la energía total relativista de un grano de arena de 1 miligramo a v=0,99c es igual a 0,152 kilotones.

Gracias por el apunte, D. Andrés.