¿Por qué 0! =1?

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Centrémonos en el tema...

¿Por qué el factorial de cero es uno? Aquí el problema está en la definición de factorial. Si definimos el factorial de un número entero positivo como el resultado de multiplicar todos los números enteros positivos desde 1 hasta 𝑛, es decir:

𝑛!=𝑛⋅(𝑛−1)⋅(𝑛−2)⋅...⋅3⋅2⋅1,

es evidente que si pretendemos calcular el factorial de cero algo falla. Según esta definición, el factorial de cero, como el de cualquier otro número que no sea un entero positivo no se puede calcular ya que no está definido.

Entonces, ¿por qué hay lugares donde se afirma que 0!=1?

La explicación es la siguiente (la idea la he tomado de Wikipedia en español porque me ha parecido muy sencilla de entender, aunque la he explicado a mi manera, así que las críticas, por favor, diríjanlas hacia mí, el auténtico culpable de que no esté explicado perfecto):

Supongamos que disponemos de una máquina que multiplica números enteros del cero al nueve. Dicha máquina tiene además una tecla que borra la operación anterior y otra que permite introducir el siguiente número. Por conveniencia, supongamos que a esas teclas las denominamos BORRAR e INTRO.

Para iniciar una multiplicación bastará con introducir los números que queremos multiplicar y, después de cada número, pulsar la tecla INTRO. La máquina mostrará en su pantalla el resultado de la multiplicación que se haya ido acumulando hasta ese momento.

Por ejemplo, supongamos que deseamos multiplicar los números de 5 al 9. Las pulsaciones que debemos hacer y el contenido de la pantalla se muestran en la siguiente tabla:

Ahora bien, ¿qué debe mostrar la pantalla después de pulsar la tecla BORRAR? Es evidente que si ponemos un 0, al introducir el primer número de la nueva multiplicación, la máquina multiplicará dicho número por el que hay en ese momento almacenado (que es 0) y el resultado será incorrecto ya que se anulará siempre.

La única forma de resolver esta situación es que, al pulsar BORRAR, la máquina muestre en pantalla un 1, el elemento neutro de la multiplicación. De esa forma, al introducir el siguiente número, lo multiplicará por 1 y la máquina funcionará correctamente.

La consecuencia intuitiva que podemos extraer de esto es que el producto de cero factores, es decir, cuando aún no hemos multiplicado nada, ha de ser 1 para que las cosas funcionen.

Fijémonos que si en lugar de estar multiplicando, estuviéramos sumando, nadie se preguntaría por qué la suma de ningún número debe ser el neutro de la suma, es decir, cero. Si yo quiero sumar una cierta cantidad de números, cuando todavía no he añadido ninguno, es evidente que el valor de la suma en ese momento ha de ser cero, ¿no? Es tan evidente que parece una perogrullada decir que si no hemos sumado nada, el resultado de esa suma de ningún número ha de ser cero.

Pues ahora pasemos al caso de la multiplicación... ¿Cuánto debe valer una multiplicación que todavía no ha multiplicado ningún número? ¿Cero? Imposible, porque cuando empecemos a multiplicar, nos saldran resultados incorrectos, se anulará todo. La única respuesta lógica es que cuando todavía no hemos multiplicado nada, dicha multiplicación valga uno, que por algo es el elemento neutro de la multiplicación...

Así pues, por coherencia con el concepto de factorial, no hay más remedio que adoptar 0!=1 si queremos que las cosas funcionen. A esta conclusión se puede llegar por diversos caminos y todos coinciden finalmente que el factorial de cero debe ser uno para que las cosas tengan sentido y sean coherentes.

Voy a dar dos razones más para explicar porque es conveniente que 0!=1.

Hemos visto como se definía el factorial de un número entero positivo 𝑛. Es evidente que podemos establecer la siguiente igualdad:

𝑛!=𝑛⋅(𝑛–1)!,

por lo tanto, podríamos calcular el factorial de un entero positivo a partir del factorial del entero positivo siguiente poniendo la igualdad de la siguiente forma:

(𝑛–1)!=𝑛!𝑛.

Veamos unos ejemplos:

4!=5!5, 3!=4!4, 2!=3!3, 1!=2!2...

Si forzamos la definición de factorial para admitir el factorial de cero, según esta idea, ¿cuál debería ser el factorial de cero? Obviamente:

0!=1!1=11=1,

ya que si no, no sería coherente con lo que sucede con el resto de números, ¿no?

Otro ejemplo, ya de un nivel más alto. Consideremos la función gamma de Euler, introducida por este matemático en 1729, aunque no le daría ningún nombre concreto, y que, posteriormente, sería bautizada como función gamma (de Euler), y simbolizada como la conocemos ahora Γ(𝑧) por Legendre en 1814.

Euler definió esta función como el límite:

Γ(𝑥)=lim𝑛→∞𝑛!⋅𝑛𝑥𝑥⋅(𝑥+1)⋅(𝑥+2)⋅...⋅(𝑥+𝑛),

pero en la actualidad se usa una definición en forma integral, bastante más manejable (Euler era un genio resolviendo límites —bueno, límites y casi cualquier cosa; se estima que el 25 % de toda la producción matemática del s. XVIII se la debemos a él solito, y eso que se quedó tuerto del ojo derecho a los 28 años y perdió la visión del otro ojo ya en los últimos años de su vida, aunque siguió trabajando al mismo ritmo que había llevado siempre—), que es la siguiente:

Γ(𝑧)=∫∞0𝑒−𝑡⋅𝑡𝑧−1𝑑𝑡.

Esta peculiar función tiene una serie de propiedades muy interesantes. Entre ellas, se puede demostrar que si es un número entero positivo, entonces la función gamma coincide con el factorial de dicho número menos uno. Dado que Γ(𝑥) es contínua para cualquier número real 𝑥, se suele interpretar como que la función gamma de Euler es la generalización del concepto de factorial a cualquier número real. Es más, la fórmula anterior la hemos escrito usando precisamente porque también es válida para números complejos.

Resumiendo, Γ(𝑧)=(𝑧−1)!, si es un número entero positivo, y si no lo es, podemos interpretar el valor de la función como la generalización a cualquier número complejo del concepto de factorial.

En particular, no es demasiado difícil calcular que Γ(1)=1, lo cual ya nos hace ver que sería conveniente definir 0!=1 para que las cosas encajen más o menos bien.

Sería tarea de alguien más eficiente que yo enumerar todos los motivos que nos llevan a elegir el factorial de cero como uno, aunque a algunos les choque. Supongo que están demasiado acostumbrados a pensar en términos de sumas (en las que el elemento neutro es 0) y no se dan cuenta que en términos de multiplicaciones lo correcto es recordar que el elemento neutro es el uno.