¿Para qué sirve la Banda de Moebius?

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Recordemos que una banda de Möbius es una superficie que solamente tiene una cara y un borde, la cual topológicamente se describe como una superficie no orientable ; en términos sencillos, una superficie no orientable implica que de dibujar una flecha sobre esta superficie no podrás determinar si la flecha apunta hacia arriba o hacia abajo.

Cinta de Möbius

Si queremos representar matemáticamente la cinta de Möbius, podemos utilizar un subconjunto en R3" role="presentation">ℝ3${\mathbb{R}}^3$ por medio de parametrización:

x(u,v)=12[1+v2cos⁡(u2)]cos⁡(u)" role="presentation">𝑥(𝑢,𝑣)=12[1+𝑣2cos(𝑢2)]cos(𝑢)$\begin{array}{}& {\displaystyle x(u,v)={\displaystyle \frac{1}{2}}[1+{\displaystyle \frac{v}{2}}\cos \left({\displaystyle \frac{u}{2}}\right)]\cos (u)}\end{array}$

y(u,v)=[1+v2cos⁡(u2)]sin⁡(u)" role="presentation">𝑦(𝑢,𝑣)=[1+𝑣2cos(𝑢2)]sin(𝑢)$\begin{array}{}& {\displaystyle y(u,v)=[1+{\displaystyle \frac{v}{2}}\cos \left({\displaystyle \frac{u}{2}}\right)]\sin (u)}\end{array}$

z(u,v)=v2sin⁡(u)" role="presentation">𝑧(𝑢,𝑣)=𝑣2sin(𝑢)$\begin{array}{}& {\displaystyle z(u,v)={\displaystyle \frac{v}{2}}\sin (u)}\end{array}$

Donde 0≤u<2π" role="presentation">0≤𝑢<2𝜋$0\le u<2\pi$ y −1≤v≤1" role="presentation">−1≤𝑣≤1$-1\le v\le 1$. Esto generará una banda de Möbius con un ancho de una unidad, un círculo centrado de una unidad de radio que recaerá en el plano xy" role="presentation">𝑥𝑦$xy$ y que está centrado en (0,0,0)" role="presentation">(0,0,0)$(0,0,0)$.

Si deseamos conocer la representación topológica de una banda de Möbius, esta es descrita como un cuadrado [0,1]×[1,0]" role="presentation">[0,1]×[1,0]${\displaystyle [0,1]\times [1,0]}$ cuyos aristas superior e inferior identificados (es decir, lados donde se construye un espacio topológico al pegarse puntos sobre otros) por la siguiente relación:

(x,0)∼(1−x,1)∀x|0≤x≤1" role="presentation">(𝑥,0)∼(1−𝑥,1)∀𝑥|0≤𝑥≤1$\begin{array}{}& {\displaystyle (x,0)\sim (1-x,1)\mathrm{\forall }x|0\le x\le 1}\end{array}$

Representación topológica de la banda de Möbius

Se dice que esta es identificada debido a que al «pegar» ambos lados de tal forma que ambas flechas vayan hacia la misma dirección se generará el espacio anteriormente descrito, como se muestra a continuación:

Construcción de una banda de Möbius. La formulación matemática la obtuve del artículo Möbius strip - Wikipedia

Una vez que hemos dado un poco de contexto de la banda de Möbius podemos dar ejemplos de algunas aplicaciones de la misma.

Aplicaciones en mecánica: las cintas transportadoras

Una de las principales aplicaciones de este ente matemático son las cintas transportadoras, pues su diseño permite que estas cintas tengan el doble de rendimiento y un desgaste menor en comparación con otras cintas transportadoras. Su implementación ha sido tan efectiva que ya se han creado varias patentes relacionadas a la banda de Möbius; para dilucidar esto, te comparto esta patente de 1981" role="presentation">1981$1981$ que corresponde a Joseph Miranti: https://patentimages.storage.goo...

Cinta transportadora con forma de banda de Möbius

Presencia de la banda de Möbius en física y química

La cinta de Möbius es utilizada para lo siguiente:

• Es empleada para describir un tipo especial de aromaticidad (Möbius aromaticity)
• Es usada en estucturas de grafeno
• Podría ser fundamental en el desarrollo de superconductores de alta temperatura
• Tambien se han patentado resistores que no producen interferencias magnéticas (Möbius resistor - Wikipedia; un ejemplo de esto podría ser esta patente de Richard Davis: Non-Inductive Resistor (Moebius loop))

Para que puedas comprender esto mejor, te recomiendo leer el siguiente texto acerca de el uso de la banda de Möbius octahédrica en estructuras cristalinas del tipo Perovskita para superconductividad:

• https://arxiv.org/ftp/cond-mat/p...

El catión aromático trans−C9H9+" role="presentation">−C9H9+$-{\text{C}}_9{\text{H}}_9+$ de Möbius

Non-Inductive Resistor (Moebius loop), de Richard Davis

La banda de Möbius y su presencia en la arquitectura y en el arte

Este enigmático objeto ha sido la fuente de inspiración para el diseño de diversas obras tanto artísticas como de edificaciones. Comencemos con lo más conocido. Maurits Cornelis Escher fue un artista gráfico neerlandés que se hizo conocido por sus grandes obras inspiradas en las matemáticas, pues retrataba principalmente figuras imposibles, dentro de las cuales retrató a la banda de Möbius.

Retrato de M. C. Escher de la banda de Möbius

Asimismo, esta banda ha sido utilizada para diseñar casas, estadios y diversas construcciones. Entre las más destacadas, se encontraba el Lansdowne Road Stadium, que se ubicaba en Dublín, Irlanda.

Como se puede apreciar, el diseño de este estadio está inspirado en la banda de Möbius.

La lista podría seguir aun con más ejemplos prácticos, pues existen muchísimos usos de esta banda tan especial, pero considero que con esto es más que suficiente para saber en qué tipos de situaciones es de utilidad.

Artículos para lectura:

• La cinta de Moebius: el enigmático objeto con un solo lado que fascina a matemáticos, artistas e ingenieros
• Moebius y los objetos imposibles
• http://www.ehu.eus/~mtwmastm/Ing...