¿Cuáles son algunos problemas científicos simples que siguen sin resolverse?

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La conjetura de Collatz

Imagen de la genial web XKCD

La conjetura de Collatz dice que tomando cualquier número y haciendo lo siguiente:

Si es par lo divides por 2
Si es impar lo multiplicas por 3 y le sumas 1

Al hacer eso sucesivamente llegarás siempre al número 1.

Ej: 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Cualquier niño pequeño puede entenderlo y probar a hacerlo, dividir entre 2 o multiplicar por 3 y sumar 1, pero demostrar que siempre siempre se llegará al 1 es algo realmente difícil.
Ni siquiera se sabe si se puede demostrar o no.

Fue enunciado en 1937 por el matemático alemán Lothar Collatz y a día de hoy no se ha resuelto, y se cree que se tardará mucho en probar, o quizá sea imposible. Se dice que el matemático Paul Erdős afirmó que la matemática actual no está preparada para problemas como este.

La conjetura [fuerte] de Goldbach

“Todo número par mayor que 2 es suma de 2 primos”

Lleva casi 300 años sin resolverse, uno de los problemas abiertos más antiguos de las matemáticas.

La variante débil se resolvió recientemente, en el 2012. Esta conjetura débil dice que todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de 3 primos.
Es evidente que si la conjetura fuerte es cierta entonces la débil se deriva de ella, ya que el 3 es primo y si tienes 2 primos que sumados den un par mayor que 2 (como el 4 o más) tendrás 3 primos que sumados den un impar mayor que 5 (como el 7 o más).

La conjetura de los primos gemelos.
“Hay infinitos primos gemelos. “

Es decir: “existen infinitos pares (p, p+2) donde p y p+2 son números primos”.

Se piensa que es cierto, pero nadie consiguió demostrarlo.

¿Es 33 suma de 3 cubos de números enteros?

No se sabe si existen 3 enteros x, y, z que cumplan:

x3+y3+z3=33" role="presentation">x3+y3+z3=33$x^3+y^3+z^3=33$

Parece obvio que en caso de existir al menos uno será negativo.

¿Existen infinitos números primos de Mersenne?

Se sospecha que sí, pero nadie lo ha demostrado.

Los números primos de Mersenne tienen la siguiente forma:

2k−1" role="presentation">2k−1$2^k-1$

Siendo k un número entero mayor que 1.

Es decir, números que sean uno menos que una potencia de 2 y que sean primos, esos son los primos de Mersenne y no se sabe si hay infinitos.

¿Existen infinitos números primos de Fermat?

Parecido a lo anterior, pero una unidad más que una potencia de 2.

2k−1" role="presentation">2k−1$2^k-1$

Tampoco se sabe si hay infinitos de estos.

De estos hay menos que de Mersenne y no se sabe si hay alguno mayor que 65537.

Problemas de Sudoku.
¿Cuántos sudokus diferentes tienen exactamente una solución?
Si conoces el juego del Sudoku es un problema cuyo planteamiento es muy fácil de entender… pero nadie sabe cómo calcular ese número, que por otro lado debe ser un número gigantesco, que obviamente no podría calcularse con ninguna computadora actual probando todas las combinaciones posibles.

La conjetura de Beal.

Si

Ax+By=Cz," role="presentation">Ax+By=Cz,${\displaystyle A^x+B^y=C^z,}$

donde A, B, C, x, y, z son enteros positivos con x, y, z > 2 entonces A, B y C deben tener un factor común primo.

O, lo que sería lo mismo: “no hay soluciones para esa ecuación cuando x, y, z son mayores que 2 y cuando A, B y C son primos entre sí”

¡Ojo, que esta vale 1 millón de dólares!
Fue propuesta por Beal en 1993 cuando investigaba generalizaciones de la Conjetura de Fermat, ahora llamada Teorema de Fermat-Wiles. Beal es banquero y matemático aficionado.
Parece un premio muy suculento, para un problema que “sólo” tiene 25 años ¿no os parece?.

Problemas de trascentalidad y racionalidad.
Agrupo aquí numerosos problemas sobre números sencillos de describir que no se sabe si son trascendentes y ni siquiera si son racionales o no.
Números como la suma de PI y el número e, o la resta de PI y e, o la multiplicación PI*e, etc. Tampoco se sabe si e elevado a PI es racional o no, o PI elevado a PI o e elevado a e …
Bueno, quizá estos problemas no se puedan denominar como “simples” ya que saber lo que es el número e ya supone un paso a matemáticas un poco más avanzadas… no es algo que suela saber un niño de 10 años.

Otros problemas simples sin resolver:

El problema del sofá.
O yo lo llamaría El problema “de mover el mueble”.
¿Cuál es el mayor área que puede tener la proyección de un sofá en 2 dimensiones de forma que pueda girar en un pasillo en esquina?

Problema del sofá - Wikipedia, la enciclopedia libre

El cuboide perfecto.
¿Existen 7 números enteros que sean respectivamente las aristas de un cuboide, las diagonales de las caras y la diagonal principal?

Sería como extender los números enteros pitagóricos a 3 dimensiones.

Es decir:
Si las aristas son A, B y C, las diagonales de las caras E, F, G y la principal H.

A^2 + B^2 + C^2 = H^2
A^2 + B^2 = D^2
B^2 + C^2 = E^2
A^2 + C^2 = F^2

Nadie ha encontrado enteros que cumplan eso, pero tampoco se ha demostrado que no sea posible.

El problema del cuadrado inscrito. / Conjetura de Toeplitz

Sea cualquier curva cerrada sin intersecciones (técnicamente llamada una “curva de Jordan”), como el borde de una piscina, por ejemplo.
Demostrar que siempre se puede encontrar un cuadrado inscrito en esa curva, es decir, cuyos vértices sean puntos de la curva.

Fue demostrado para otras figuras como triángulos equiláteros o rectángulos pero para cuadrados nadie ha conseguido demostrarlo.

Estos últimos los vi en este enlace:

5 Simple Math Problems No One Can Solve

Por último, una lista de problemas de matemáticas sin resolver que aparece en la Wikipedia:
List of unsolved problems in mathematics - Wikipedia