¿Por qué no es posible atravesar la Tierra hasta el otro lado haciendo un agujero a través del suelo?

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Podríamos asumir que la Tierra es sólida y homogénea, pero para complacer a los exquisitos, vamos a mudarnos a la luna, que si tiene centro sólido.

Supongamos que hacemos un agujero de polo a polo, para anular el efecto de rotación lunar, que nos complica el resultado.

Por qué lo complica? Bueno, porque resulta que los objetos que están en la superficie de la luna giran con respecto al eje de ésta, de tal forma que su caída no sólo tendrá una componente vertical sino otra relacionada con esta rotación (Han oído hablar del efecto Coriolis?). Porque esto es lo que se me ocurre que podemos hacer con esta perforación: Una vía de transporte.

Bueno cabría esperar que debido a este fenómeno, el objeto hiciera contacto con las paredes de la perforación, y eventualmente frenándose y finalizando su movimiento,

Así que nos iríamos de polo a polo.

Podríamos resolver este problema usando las ecuaciones de caída libre, verdad?

No; no tan rápido.

Las ecuaciones simplificadas que conocemos consideran la aceleración g como constante. Pero en un caso más general, la Ley de Gravitación Universal, aplicada a un punto p situado a una distancia r de una masa puntual m nos dice que

Ah bueno, entonces apliquemos esta ecuación. Pero tenemos un detalle: De acuerdo a ella, la aceleración aumentaría a medida que el cuerpo se acerca al centro, hasta hacerse infinita! Oh, tenemos una singularidad en la luna!

Ya va, ya va... revisemos las condiciones del modelo: punto P, a una distancia r de una masa puntual... Parece que el modelo funciona entre partículas …

Pero aquí tenemos una partícula dentro de la otra! Conclusión: Nuestro modelo colapsó.

Así que intentemos otra forma; hay que ver cómo interactúa la masa de la luna con respecto a ese punto P interno a ella.

Afortunadamente ya lo hicieron por nosotros, en el soberbio análisis incluído en el enlace [1] , que incluye una sesión de rudo cálculo integral.

Una vez pasadas las de Caín con las integrales, se obtuvieron los interesantes resultados siguientes:

• La influencia gravitacional del casquete esferico que rodea al punto P es nula!
• La aceleración g en un punto P, a una distancia r del centro del cuerpo de masa M (r <R) viene dada por:

Donde G es la constante de Gravitación Universal.

Saben algo interesante? Que pueden obtenerse resultados similares aplicando las ecuaciones de Gauss comúnmente usadas para el campo electromagnético!

Sería tentador deducir o hallar unas ecuaciones cinemáticas que consideren está gravedad variable, pero preferí buscar una solución aproximada, calculando g en tramos sucesivos de recorrido.

Así lo hice: Consideré 17 tramos de 100 km (y uno de 31,1 km ), calculando g en el punto medio de cada tramo, y aplicando las ecuaciones cinemáticas en cada intervalo.

Cuáles ecuaciones?

El tiempo en recorrer cada intervalo viene dado por:

∆rn es 100 km excepto en el tramo final: 31,1 km.

La velocidad al final de cada intervalo viene dada por:

A continuación se muestra un resumen de los resultados:

De acuerdo a esto, un cuerpo que caiga desde el reposo y en ausencia de roce a través de un agujero de polo a polo lunar, llegará al centro en aproximadamente 1.620 s, con una velocidad aproximada de 1.683 m/s, y llegara al polo contrario en el doble de tiempo (esto es, 3.240 s)

Si un astronauta no lo atrapa al salir, entonces mantendrá indefinidamente este movimiento, cayendo y ascendiendo armónicamente.

Las condiciones lunares son de muy bajo roce (debido a la falta de atmósfera) así que se esperarían unos cuántos viajes ida y vuelta (a modo de péndulo). Pero podrían esperarse algunas interacciones exóticas con partículas atrapadas en la gravedad lunar. Eventualmente, ya no alcanzaría la superficie, pero seguiría oscilando hasta que en algún momento quedaría en reposo… en el centro de la luna!

Espero que les haya gustado la pregunta y la respuesta.

Saludos!

Notas al pie

[1] La aceleración de la gravedad en el interior y en el exterior de una distribución esférica y uniforme de masa