¿Cómo descubrió Arquímedes que la corona del rey no estaba hecha de oro puro?

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Le dio todo el oro que le pidió, pero una vez que terminó el trabajo, no pudo evitar sentir sospechas. ¿Qué pasaría si el orfebre hubiera reemplazado parte del oro por plata de igual peso y se hubiera embolsado la diferencia? La plata es mucho más barata que el oro, por lo que le valdría la pena. Externamente, la corona tenía un aspecto dorado, pero ¿cómo podía estar seguro Hierón acerca del interior?

En tales casos, solo se puede hacer una cosa para descubrir la verdad: calcular el volumen del objeto. El oro y la plata no tienen la misma densidad, lo que significa que una pieza de oro y una pieza de plata pueden tener el mismo peso pero diferentes volúmenes o el mismo volumen pero diferentes pesos. Para ser más específicos, 1 kilo de plata ocupa un volumen de 95.33 ccm, mientras que 1 kilo de oro ocupa un volumen de 51.76 ccm. Si la corona pesara 1 kilo pero ocupase un volumen mayor a 51.76 ccm, eso significaría que el orfebre había hecho trampa.

Pero aquí está el problema: una corona no tiene una forma clara, no es ni una esfera, ni una pirámide, ni un cubo, ni un cuboide. ¿Cómo se puede calcular el volumen de algo que tiene tantas superficies desiguales, salientes, puntos, etc.? Hierón se encontró en un callejón sin salida, por lo que pidió la ayuda de Arquímedes.

Arquímedes pasó bastante tiempo pensando, pero fue en vano. Ningún cálculo del volumen de la corona podría ser lo suficientemente preciso. Se obsesionó tanto con el problema que apenas podía sacarselo de la cabeza. Un día, mientras se metía en la bañera, se le ocurrió una idea. Notó que a medida que su cuerpo bajaba, el nivel del agua subía. Al hacer algunas pruebas sencillas, se dio cuenta de que el volumen del agua que estaba siendo desplazada era igual al volumen del objeto que estaba siendo sumergido. Aún mejor, el peso y la forma del objeto eran irrelevantes. Utilizando el nivel de agua como indicador, ahora podía calcular el volumen de cualquier cosa, independientemente de su peso o forma.

Según cuenta la historia, Arquímedes salió de la bañera y corrió por las calles de la ciudad desnudo y emocionado, gritando en griego: "¡(H)eureka!" ("¡Lo encontré!"). Al día siguiente, tomó oro puro del mismo peso que la corona, lo sumergió en una tina y midió cuánto subía el nivel del agua. Luego hizo lo mismo con la corona. El nivel del agua aumentó más, lo que indicó que el orfebre había hecho trampa.

Dos notas:

La historia aparece por primera vez en una obra de Marcus Vitruvius Pollio, quien vivió un par de siglos después de Arquímedes. Si es una historia real o no, todavía se debate.

El llamado principio de Arquímedes describe un fenómeno diferente.